Можно ли записать дробь 1/2100 в виде суммы различных дробей с натуральными знаменателями и числителями, равные единице, так, чтобы количество слагаемых в этой сумме было равно а) 2; б) 3; в) 4; г) любому натуральному числу?

Воспользуемся формулой для разложения на аликвотные дроби:

1/n = 1 / (n + 1) + 1/n * (n + 1).

Тогда:

а) 1/2100 = 1/2101 + 1/4412100;

б) вновь разложим первую дробь из задания а)

1/2100 = 1/2102 + 1/4416302 + 1/4412100

в) повторим пункт б)

1/2100 = 1/2103 + 1/4420506 + 1/4416302 + 1/4412100

г) этот процесс можно продолжать бесконечно.

Аликвотной дробью называют дробь, в числителе которого стоит единица. Например, 1/2 или 1/60.

Есть два варианта решения данной задачи.

Сложение одинаковых дробей с единицей в числителе

1) Можно разложить дробь 1/2100 на аликвотные слагаемые с одинаковыми знаменателями. Здесь нужно учесть, что в числителе должна сохраниться единица, то есть должно быть сокращение до единицы.

Например:

если мы сложим 1/2 + 1/3, получится 5/6, а это не аликвотная дробь; но если сложить 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2, то есть 1/3 + 1/6 = 1/2; получилась нужная дробь с единицей в числителе только благодаря сокращению (3 / 6 = 1/2).

Следовательно, если мы сложим две одинаковые дроби, то в числителе будет 2, и для сокращения до единицы мы должны поделить числитель и знаменатель на 2, чтобы получилась дробь 1/2100, то есть знаменатель должен быть в два раза больше.

Получаются следующие слагаемые: 1/4200 + 1/4200 = 2/4200 = 1/2100.

Значит, чтобы сложить три дроби, знаменатель увеличиваем в три раза, если складываем 4 дроби, то в 4 раза и так далее.

1/2100 = 1/4200 + 1/4200;

1/2100 = 1/6300 + 1/6300 + 1/6300;

1/2100 = 1/8400 + 1/8400 + 1/8400 + 1/8400. И так далее.

Можно вывести формулу количества слагаемых:

1/2100 = 1 / (2100 * n) + 1 / (2100 * n) + ... (где n - натуральное число, обозначающее количество слагаемых).

Сложение аликвотных дробей с разными знаменателями

Существует формула разложения аликвотной дроби на две аликвотные дроби:

1/n = 1 / (n + 1) + 1/n * (n + 1).

Разложим 1/2100 на две дроби и сделаем проверку:

1/2100 = 1/2101 + 1 / (2100 * 2101) = 2100 / (2100 * 2101) + 1 / (2100 * 2101) = 2101 / (2100 * 2101) = 1/2100;

то есть 1/2100 = 1/2101 + 1/4412100.

Чтобы разложить 1/2100 на три и более слагаемых, нужно разложить слагаемое на две аликвотные дроби по формуле нужное количество раз.

1/2100 = 1/2101 + 1/4412100; 1/2101 = 1/2102 + 1 / (2101 * 2102);

1/2100 = 1/2102 + 1/4416302 + 1/4412100. И так далее.