Сколько решений в целых числах имеет уравнение x^2+y^2=6 х+3 у+15

Перенесем все в левую часть уравнения:

x² + y² - 6 х - 2 у - 15 = 0.

Свернем одночлены по формуле квадрата разности (а - b) ² = a² - 2ab + b².

(x² - 6 х + 9) + (y² - 2 у + 1) - 25 = 0 (9 + 1 - 25 будет равно - 15).

(х - 3) ² + (у - 1) ² = 25.

Число 25 можно разложить на слагаемые (которые являются целыми квадратами чисел) только так:

25 = 16 + 9 или 25 = 9 + 16.

16 = 4²;

16 = (-4) ²;

9 = 3²;

9 = (-3) ².

1) х - 3 = 4; х = 7.

Тогда у - 1 = 3; у = 4.

Или у - 1 = - 3; у = - 2.

Решение: (7; 4) и (7; - 2).

2) х - 3 = - 4; х = - 1.

Тогда у - 1 = 3; у = 4.

Или у - 1 = - 3; у = - 2.

Решение: (-1; 4) и (-1; - 2).

3) х - 3 = 3; х = 6.

Тогда у - 1 = 4; у = 5.

Или у - 1 = - 4; у = - 3.

Решение: (6; 5) и (6; - 3).

4) х - 3 = - 3; х = 0.

Тогда у - 1 = 4; у = 5.

Или у - 1 = - 4; у = - 3.

Решение: (0; 5) и (0; - 3).

Ответ: уравнение имеет 8 решений в целых числах.