Cos x+cos 5x+cos 9x=0, подробное решение, как из суммы делаем произведение?

Сгруппируем члены заданного уравнения:

(cos x + cos 9 x) + cos 5 x = 0.

В скобках сумма косинусов. Применим к ней следующую тригонометрическую формулу:

cos a + cos b = 2 cos (a + b) / 2 * cos (a - b) / 2.

Получим уравнение:

(2 * cos 5 x * cos 4 x) + cos 5 x = 0.

В обеих частях уравнения появился общий множитель cos 5 x. Вынесем его за скобки и получим произведение двух сомножителей:

cos 5 x * (2 * cos 4 x + 1) = 0.

Приравняем каждый из сомножителей нулю:

a) cos 5 x = 0;

5 x = Pi/2 + Pi k;

x₁ = Pi/10 + Pi/5 k.

b) 2 cos 4 x + 1 = 0;

cos 4 x = - 1/2;

4 x = Pi ± Pi/3;

x₂ = Pi/4 ± Pi/12.