Каждое из восьми натуральных чисел меньше 16, причём все числа различные. Докажите, что среди их попарных разностей есть по крайней мере три одинаковые

1. Дано:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8 ∈ N; 1 ≤ a1 < a2 < a3 < a4 < a5 < a6 < a7 < a8 ≤ 15. (1)

2. Из 8 чисел можно составить:

N = C (8, 2) = 8! / (2! * 6!) = 28 пар.

3. Модуль разности чисел в каждой паре может принимать значения от 1 до 14 (при a1 = 1 и a8 = 15). Следовательно, если среди них нет трех одинаковых, то получим по две пары для каждого значения:

28 : 14 = 2.

4. Тогда для суммы всех разностей получим:

S = 2 * (1 + 2 + ... + 13 + 14); S = 2 * 14 * (1 + 14) / 2; S = 14 * 15 = 210. (2)

5. С другой стороны, исходя из неравенств (1), для этой же суммы получим:

S = 7 (a8 - a1) + 5 (a7 - a2) + 3 (a6 - a3) + (a5 - a4); S ≤ 7 * 14 + 5 * 12 + 3 * 10 + 8; S ≤ 98 + 60 + 30 + 8; S ≤ 196. (3)

6. Равенства (2) и (3) противоречат друг другу, значит, есть три одинаковые пары.

Что и требовалось доказать.