Как решить уравнение: 7^x+1+3*7^x=2^x+5+3*2^x

7^ (x + 1) + 3 * 7^x = 2^ (x + 5) + 3 * 2^x;

Выносим за скобки общие множители.

7^x * (7 + 3) = 2^x * (2^5 + 3);

7^x * 10 = 2^x * 35;

Сокращаем обе части уравнения на 5.

7^x * 2 = 2^x * 7.

(7^x) / (2^x) = 7/2.

(7/2) ^x = (7/2) ^1.

х = 1.

Проверка:

7^ (1 + 1) + 3 * 7^1 = 2^ (1 + 5) + 3 * 2^1;

7^2 + 3 * 7 = 2^6 + 3 * 2;

49 + 21 = 64 + 6.

70 = 70.

Ответ: х = 1.

Решим уравнение:

7^{x + 1} + 3 * 7^x = 2^{x + 5} + 3 * 2^x.

Упростим левую часть уравнения

Рассмотрим левую часть:

воспользуемся свойством степеней a^x * b^x = (ab) ^x; вынесем за скобки общий множитель 7^х; 7^{x + 1} + 3 * 7^x = 7^x (7¹ + 3) = 7^x (7 + 3) = 10 * 7^x. Упростим правую часть уравнения

Рассмотрим правую часть:

воспользуемся свойством степеней a^x * b^x = (ab) ^x; вынесем за скобки общий множитель 2^х; 2^{x + 5} + 3 * 2^x = 2^x (2⁵ + 3) = 2^x (32 + 3) = 35 * 2^x. Вернемся к уравнению

Подставим в исходное уравнение:

10 * 7^x = 35 * 2^x.

Разделим обе части уравнения на 5:

2 * 7^x = 7 * 2^x.

Преобразуем уравнение

Составим пропорцию:

7^x / 7 = 2^x / 2.

Упростим левую часть: 7^x / 7 = 7^{х - 1}. Упростим правую часть: 2^x / 2 = 2^{х - 1}. Получим: 7^{х - 1} = 2^{х - 1}.

Перенесем все в левую часть:

7^{х - 1} / 2^{х - 1} = 1.

Рассмотрим левую часть: воспользуемся свойством степеней a^x / b^x = (a/b) ^x.

(7/2) ^{х - 1} = 1.

Представим правую часть в виде степени числа 7/2:

1 = (7/2) ⁰.

Получим:

(7/2) ^{х - 1} = (7/2) ⁰.

Т. к. основания степеней равны, то и показатели тоже должны быть равны:

х - 1 = 0.

Решим полученное уравнение:

х = 1.

Ответ: х = 1.

Проверка

Произведем проверку: подставим найденный корень х = 1 в исходное уравнение:

7^{1 + 1} + 3 * 7¹ = 2^{1 + 5} + 3 * 2¹, 7² + 3 * 7 = 2⁶ + 3 * 2, 49 + 3 * 7 = 64 + 3 * 2, 49 + 21 = 64 + 6, 70 = 70.

Равенство верное, значит корень найден верно.