Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, в которой S3=48, S6=141

Если S₃ = 48, S₆ = 141. Найдем первый член a₁ и разность d.

Запишем формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии: S_n = ((a₁ + a_n) / 2) * n

S₃ = ((a₁ + a₃) / 2) * 3 = 48 → (a₁ + a₃) = 48/3 * 2 → a₁ + a₃ = 32.

S₆ = ((a₁ + a₆) / 2) * 6 = 141 → (a₁ + a₆) = 141/6 * 2 → a₁ + a₆ = 47.

В арифметической прогрессии n - ный член равен среднеарифметическому предыдущего и последующего членов, то есть a_n = (a_{n - 1} + a_{n + 1}) / 2, поэтому a₂ = (a₁ + a₃) / 2 → a₂ = 32/2 = 16.

Рассмотрим систему:

{a₁ + a₃ = 32 → {2a₁ + 2d = 32.

{a₁ + a₆ = 47 → {2a₁ + 5d = 47.

Из второго уравнения вычтем первое: 3d = 15 → d = 5.

Теперь из второго члена прогрессии вычтем разность и получим первый член:

a₁ = a₂ - d = 16 - 5 = 11.

Ответ: а₁ = 11; d = 5.