В 1000-значном числе 97531975319753197531 ...9753197531, вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах; в полученном 500-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах, и т. д. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычеркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

Вычислим, сколько действий необходимо сделать, чтобы определить оставшуюся цифру.

1000 цифр (количество чётных и нечётных в числе одинаково, последняя цифра чётная);

1) 1000/2 = 500 цифр (количество чётных и нечётных в числе одинаково, последняя цифра чётная);

2) 500/2 = 250 цифр (количество чётных и нечётных в числе одинаково, последняя цифра чётная);

3) 250/2 = 125 цифр (количество нечётных в числе больше на 1, последняя цифра нечётная);

4) 125/2 = 62.5, 62 цифр остаётся (количество чётных и нечётных в числе одинаково, последняя цифра чётная);

5) 62/2 = 31 цифр = 30 + 1 (количество нечётных в числе больше на 1, последняя цифра нечётная);

6) 31/2 = 15.5; остаётся 15 четных;

7) 15/2 = 7.5, остается 7 четных;

8) 7/2 = 3.5, остаётся 3 чётных.

Далее из 4 чисел выбираем одно.

Итого, 9 операций.

Теперь, распишем оставшиеся последовательности цифр в числах:

1) 97531 97531 97531 ... 97531, число цифр чётное, вычёркиваем цифры на нечётных местах.

2) 73951 73951 73951 ... 73951, число цифр чётное, вычёркиваем цифры на нечётных местах.

3) 35791 35791 ...35791 3, число цифр нечётное, вычёркиваем цифры на нечётных местах.

4) 59371 59371 ...59371, число цифр чётное, вычёркиваем цифры на нечётных местах.

5) 97531 97531 97531 ... 97531, число повторяется. Значит, каждые 4 операции последовательность цифр повторяется.

Если число чётное, то в конце стоит единица, если нечётное, то в конце стоит первая цифра числа, которая в итоге вычёркивается и остаётся опять последовательность из чисел, заканчивающаяся на 1.

6) 73951 73951 73951;

7) 35791 35;

8) 593;

9) 9.

Остаётся цифра 9.

И последней была вычеркнута цифра 9, так как стоит на нечётном месте.