В ряд выписаны 1,2,3 1,2,3, ..., 1,2,3, (группа 1,2,3 повторяется в этой записи 342 раза) На первом шаге стирают все цифры, стоящие на нечетных местах. В полученном новом ряду цифр опять стирают все цифры стоящие на нечетных местах. С новым рядом опять проделывается такая же операция и так до тех пор пока не останется одна цифра. Какая это будет цифра? Обосновать ответ.

Запишем под каждой цифрой ее порядковый номер в этом ряду. После первого шага не зачеркнутыми останутся цифры с четными номерами, так как зачёркивали нечетные.

После второго шага останутся цифры с номерами, кратными 4 (то есть которые делятся на 4), потом 8, потом 16 и так далее.

После 10-го шага останется цифра (единственная) номер которой делится на 210=1024. Но 1024-я цифра является 3-й с конца (так как 3·342-1024=2). Значит, это цифра 1.

Ответ: останется цифра 1.