В 1000-значном числе 11335577991133557799 ...1133557799, вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах; в полученном 500-значном числе вновь вычеркнули все цифры, стоящие на нечетных местах, и т. д. Вычеркивание продолжалось до тех пор, пока было что вычеркивать. Какая цифра была вычеркнута последней?

При вычёркивании цифр на нечётных позициях число будет быстро сокращаться.

Поэтому процедуру вычёркивания можно проделать явно.

Исходное 1000-значное число 1133557799 1133557799 ... 1133557799. Здесь 100 групп по 10 цифр.

При вычёркивании от каждой группы в 10 цифр остаётся группа в 5 цифр.

500-значное число 13579 13579 13579 13579 ... 13579 13579. Здесь 100 групп по 5 цифр или 50 по 10.

250-значное число 37159 37159 37159 37159 ... 37159 37159. Здесь 50 групп по 5 цифр или 25 по 10.

125-значное число 75319 75319 75319 75319 ... 75319 75319 75319. Здесь 25 групп по 5 цифр.

62-значное число 51739 51739 51739 51739 ... 51739 51739 51. Здесь 12 групп по 5 цифр и 1 группа неполная,

последняя группа состоит из 2 цифр. Всё число состоит из 62 цифр.

31-значное число 13579 13579 13579 13579 13579 13579 1. Здесь 6 групп по 5 цифр и 1 дополнительная

последняя цифра. Всё число состоит из 31 цифры.

15-значное число 37159 37159 37159. Здесь 3 группы по 5 цифр.

7-значное число 75319 75. Здесь 1 группа из 5 цифр и 1 группа неполная, состоит из 2 цифр.

3-значное число 517.

Вычёркиваем далее, остаётся число 1.

Ответ: 1.