Найти натуральные числа м, при которых дробь 13 м-1/3 м+5 равна целому числу

1. Выделим целую часть (число) дроби:

f (m) = (13m - 1) / (3m + 5); f (m) = (12m + 20 + m - 20 - 1) / (3m + 5); f (m) = (4 (3m + 5) + m - 21) / (3m + 5); f (m) = 4 + (m - 21) / (3m + 5). (1)

2. Значение f (m) - целое, если дробь принимает целые значения. Необходимое условие для этого:

|m - 21| ≥ |3m + 5|.

Для натуральных значений m имеем:

|m - 21| ≥ 3m + 5.

a) при m ≥ 21:

m - 21 ≥ 3m + 5; m - 3m ≥ 21 + 5; - 2m ≥ 26; m ≤ - 13 - нет натуральных решений.

b) при m < 21:

-m + 21 ≥ 3m + 5; - m - 3m ≥ - 21 + 5; - 4m ≥ - 16; m ≤ 4.

3. Для четырех значений m получим:

1) m = 1; f (m) = 4 + (1 - 21) / (3 * 1 + 5) = 4 + (-20) / 8 = 4 - 5/2 = 1,5 - не целое число; 2) m = 2; f (m) = 4 + (2 - 21) / (3 * 2 + 5) = 4 + (-19) / 11 = 4 - 19/11 - не целое число; 3) m = 3; f (m) = 4 + (3 - 21) / (3 * 3 + 5) = 4 + (-18) / 14 = 4 - 9/7 - не целое число; 4) m = 4; f (m) = 4 + (4 - 21) / (3 * 4 + 5) = 4 + (-17) / 17 = 4 - 1 = 3 целое число.

Ответ: 4.