Какое из чисел больше: 54 в 4 степени или 21 в 12 степени? (докажите) 25 в 7 степени или 125 в 5 степени? (докажите)

Требуется сравнить 54⁴ и 21¹². Разложим на простые множители основания данных степеней. Имеем 54 = 2 * 3³ и 21 = 3 * 7. Подставим на свои места и воспользуемся свойствами степеней 54⁴ = (2 * 3³) ⁴ = 2⁴ * (3³) ⁴ = 2⁴ * 3^{3 * 4} = 2⁴ * 3¹²; 21¹² = (3 * 7) ¹² = 3¹² * 7¹². Нетрудно заметить, что в составе обоих степеней принимает участие множитель 3¹². Значит, достаточно сравнить другие множители сравнимых чисел: 2⁴ и 7¹². Очевидно, что 2⁴ < 7¹², так как и основание, и показатель степени 2⁴ меньше чем соответствующие параметры степени 7¹², то есть (1 < 2 < 7 и 4 < 12). Таким образом, 54⁴ < 21¹². Требуется сравнить 25⁷ и 125⁵. Разложим на простые множители основания данных степеней. Имеем 25 = 5² и 125 = 5³. Подставим на свои места и воспользуемся свойствами степеней 25⁷ = (5²) ⁷ = 3^{2 * 7} = 3¹⁴; 125⁵ = (5³) ⁵ = 3^{3 * 5} = 3¹⁵. Получили две степени 3¹⁴ и 3¹⁵, основания которых равны между собой и 3 > 1. Поскольку 14 < 15, то 3¹⁴ < 3¹⁵, следовательно, 25⁷ < 125⁵.

Ответы: 54⁴ < 21¹²; 25⁷ < 125⁵.