1) Найдите наименьшее значение выражения: (х-5) (х-1) (х-6) (х-2) + 9. 2) Найдите члены пропорции а : b = с : d, в которой первый член на 6 больше второго, а третий на 5 больше четвертого. Сумма квадратов всех членов равна 793. Назовите первый член пропорции.

1) Рассмотрим выражение:

y = (х - 5) (х - 2) (х - 6) (х - 1) + 9.

В первой и второй скобках, а также в третьей и четвёртой скобках сумма их корней одинакова и равна 7.

Сделаем замену переменной:

x = z = 7/2;

y = (z - 3/2) (z + 3/2) (z - 5/2) (z + 5/2) + 9 =

(z² - 9/4) (z² - 25/4) + 9 =

(z²) ² - 17/2 (z²) + 225/16 + 369/16.

Сделаем ещё одну замену переменной:

z² = t ≥ 0.

y = t² - 17/2 t + 369/16.

Выделим полный квадрат:

y = (t² - 2 * 17/4 t + 17²/4²) - 17²/4² + 369/16.

y = (t - 17/4) ² + 5.

Минимум функции достигается при t = 17/4.

y_min = 5.

2) Запишем условия для членов пропорции:

a = b + 6;

c = d + 5;

a² + b² + c² + d² = 793.

Подставим значения a и c:

(b + 6) ² + b² + (d + 5) ² + d² = 793.

2 b² + 12 b + 2 d² + 10 d = 732.

b² + 6 b + d² + 5 d = 366.

Подставим значения a и c в пропорцию:

(b + 6) / b = (d + 5) / d;

b d + 6 d = b d + 5 b;

6 d = 5 b;

b = 6/5 d;

Подставим это значение в уравнение:

36/25 d² + 36/5 d + d² + 5 d = 366.

61/25 d² + 61/5 d = 61 * 6

61/25 d² + 61/5 d = 61 * 6

d² + 5 d - 150 = 0.

d = (-5 ± √ (25 + 600)) / 2 = (-5 ± 25) / 2.

d₁ = 10; b₁ = 12; c₁ = 15; a₁ = 18.

d₂ = - 15; b₁ = - 18; c₁ = - 10; a₁ = - 12.