Решите тригонометрическое уравнение: 1) 10sinквадрате x + 17sinx+6=0 2) 3sinквадрате x + 7cosx-=0

Найдем корни, решив квадратное уравнение:

10sin²x + 17sinx + 6 = 0;

Выполним замену sinx = а, |а| ≤ 1:

10 а² + 17 а + 6 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = (17) ² - 4 * 10 * 6 = 289 - 240 = 49;

D › 0, значит:

а1 = ( - b - √D) / 2a = ( - 17 - √49) / 2 * 10 = ( - 17 - 7) / 20 = - 24 / 20 = - 1,2, не подходит по условию замены;

а2 = ( - b + √D) / 2a = ( - 17 + √49) / 2 * 10 = ( - 17 + 7) / 20 = - 10 / 20 = - 1/2;

Тогда, если а2 = - 1/2, то:

sinx = - 1/2;

x = ( - 1) ⁿ arcsin ( - 1/2) + πn, n ∈ Z;

x = - ( - 1) ⁿ arcsin ( - 1/2) + πn, n ∈ Z;

x = - ( - 1) ⁿ π/6 + πn, n ∈ Z;

Ответ: x = - ( - 1) ⁿ π/6 + πn, n ∈ Z.

2)

3sin²х + 7cosx = 0;

Применим формулу основного тождества тригонометрических функций:

sin²x = 1 - cos²x;

3 (1 - cos²x) + 7cosx = 0;

3 - 3cos²x + 7cosx = 0;

3cos²x - 7cosx - 3 = 0;

Выполним замену сosx = а, |а| ≤ 1:

3 а² - 7 а - 3 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 7) ² - 4 * 3 * ( - 3) = 49 + 36 = 85;

D › 0, значит:

а1 = ( - b - √D) / 2a = (7 + √85) / 2 * 3 = (7 + √85) / 6, не подходит по условию замены;

а2 = ( - b + √D) / 2a = (7 - √85) / 2 * 3 = (7 - √85) / 6;

Тогда, если а2 = (7 - √85) / 6, то:

сosx = (7 - √85) / 6;

х = ± arccos ((7 - √85) / 6) + 2πn, n ∈ Z;

Ответ: х = ± arccos ((7 - √85) / 6) + 2πn, n ∈ Z.