Сколько пар натуральных чисел удовлетворяет уравнению x2 - xy - 2x + 3y = 11.

В задании дано уравнение x² - x * y - 2 * x + 3 * y = 11. Требуется определить количество пар (х; у) с натуральными числами х и у, которые удовлетворяют данному уравнению. Решим данное уравнение относительно переменной у. Имеем: - х * у + 3 * у = - x² + 2 * х + 11 или (х - 3) * у = x² - 2 * х - 11. Предположим, что х ≠ 3. Тогда, у = (x² - 2 * х - 11) / (х - 3). Заметим, что при х = 3 данное уравнение имеет смысл и принимает вид 3² - 3 * y - 2 * 3 + 3 * y = 11. Последнее равенство не верно, так как после упрощения, в его левой части получаем 9 - 6 = 3, а правая часть равна 11. Нетрудно убедиться, что последнее равенство из п. 2 можно представить в следующем виде: у = х + 1 - 8 / (х - 3). Используя это равенство, проверку выполнения данного равенства, начнём с наименьшего натурального числа 1. При х = 1, имеем: у = 1 + 1 - 8 / (1 - 3) = 2 - 8 / (-2) = 2 + 4 = 6 - натуральное число. Значит, пара (1; 6) является решением данного уравнения с натуральными числами х и у. При х = 2, имеем: у = 2 + 1 - 8 / (2 - 3) = 3 - 8 / (-1) = 3 + 8 = 11 - натуральное число. Нашли ещё одну пару (2; 11) - решение данного уравнения с натуральными числами х и у. Поскольку случай х = 3 уже просмотрен выше, то переходим к случаю х = 4. Проверка показывает, что пары (5; 2), (7; 6) и (11; 11), полученные, соответственно при х = 4, х = 7 и х = 11 являются решениями данного уравнения с натуральными числами х и у. Однако, пары (6; 13/3), (8; 37/5), (9; 26/3) и (10; 69/7), полученные, соответственно при х = 6, х = 8, х = 9 и х = 10 являются решениями данного уравнения, но не с натуральными числами х и у. Поскольку для любого натурального х > 11 справедливо х - 3 > 8, то выражение х + 1 - 8 / (х - 3) является дробным числом. Значит, существует всего 5 пар натуральных чисел, удовлетворяющих данному уравнению. Перечислим их: (1; 6), (2; 11), (5; 2), (7; 6) и (11; 11).

Ответ: 5.