Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями х^2 = 2 у+1 и x-y+1 = 0

Преобразуем уравнения линий:

x^2 = 2y + 1;

y = 1/2 * (x^2 - 1).

x - y + 1 = 0;

y = x - 1.

Найдем точки пересечения, для этого приравняем уравнения друг к другу:

1/2 * (x^2 - 1) = x - 1;

x^2 - 2x - 3 = 0;

x12 = (-2 + - √ (4 - 4 * (-3)) / 2) = (-2 + - √16) / 2;

x1 = - 1 - 2 = - 3; x2 = - 1 + 3 = 2.

Тогда площадь S фигуры образованной заданными линиями, равна разности интегралов:

S = ∫ (x - 1) * dx|-3; 2 - ∫1/2 * (x^2 - 1) * dx|-3; 2 = (x^2/2 - x) |-3; 2 - (1/6 * x^3 - 1/2*x^2) |-3; 2 = - 3 + 16/6 + 2 = 10/6.