1) Разложите На множители выражение: а) 2 х+у-4 х^2-4 ху-у^2 б) (4-х) (4+х) - а (а-2 х) 2) Найдите значение выражения: (3+1) (3^2+1) (3^4+1) (3^8+1) - 0.5*3^16 3) представьте многочлен х^4+3 х^2+4 в виде произведения. 4) Докажите, Что значение выражения 792*793*794*795+1 можно представить в виде произведения двух одинаковых натуральных чисел.

1)

a) 2 х + у - (4 х² + 4 х у + у²) = (2 х + у) - (2 х + у) ² =

(2 х + у) * (1 - 2 х - у);

b) (4 - х) (4 + х) - а (а - 2 х) = 16 - x² - a² + 2 a x = 4² - (x - a) ² =

(4 + x - a) * (4 - x + a).

2) В этой задаче последовательно используется формула сокращённого умножения:

(a + b) (a - b) = a² - b².

Домножим и разделим выражение на (3 - 1) / (3 + 1).

((3+1) (3 - 1) / (3 - 1)) (3² + 1) (3⁴ + 1) (3⁸ + 1) - 0.5*3¹⁶ =

((3² - 1) (3² + 1)) (3⁴ + 1) (3⁸ + 1) - 0.5*3¹⁶ =

((3⁴ - 1) (3⁴ + 1)) (3⁸ + 1) - 0.5*3¹⁶ =

((3⁸ - 1) (3⁸ + 1)) - 0.5*3¹⁶ =

(3¹⁶ - 1) - 0.5*3¹⁶ =

0.5*3¹⁶ - 1.

3) Найдём корни уравнения как от переменной х².

x² = ( - 3 ± √ (9 + 4 * 4)) / 2 = ( - 3 ± 5) / 2;

x² = - 4. Нет действительных решений.

x² = 1.

Получим разложение выражения:

(x² - 1) (x² + 4) = (x + 1) (x - 1) (x² + 4).

4) 792 * 793 * 794 * 795 + 1.

Покажем, что произведение четырёх последовательных целых чисел плюс единица есть квадрат целого числа.

x (x + 1) (x + 2) (x + 3) + 1 = (x² + a x + b) ² = N²,

где a и b искомые числа.

Раскроем скобки:

x⁴ + 6 x³ + 11 x² + 6 x + 1 = x⁴ + 2 a x³ + (a² + 2 b) x² + 2 a b x + b².

Так как это тождество, то в обеих частях равенства при одинаковых степенях коэффициенты равны.

Коэффициент при х³:

6 = 2 a;

a = 3.

Коэффициент при х²:

11 = a² + 2 b = 9 + 2 b;

b = 1;

Проверка.

Коэффициент при х:

6 = 2 a b = 6.

Свободный член:

1 = b² = 1.

Следовательно,

N = x² + 3 x + 1.

Для нашей задачи x = 692;

N = 692² + 3 * 692 + 1 = 480 941.

792 * 793 * 794 * 795 + 1 = 480 941².