9 класс. Сумма двух чисел равна 10. Найти эти числа, если сумма их кубов является наименьшей. Подробно расписать.

Решение: Пусть эти числа равны x и y

x + y = 10

(x + y) ^ 2 = 100

x ^ 2 + 2 x y + y ^ 2 = 100 (раскрыли формулу сокращённого умножения - квадрат суммы)

x ^ 3 + y ^ 3 = (x + y) * (x ^ 2 - x * y + y ^ 2) (раскрыли формулу сокращённого умножения - сумма кубов)

y ^ 3 + y ^ 3 = 10 * (100 - 3 x y)

y = 10 - x

x ^ 3 + y ^ 3 = 10 * (100 - 3 * x * (10 - x))

x ^ 3 + y ^ 3 = 1000 - 30 * x + 3 * x ^ 2

x ^ 3 + y ^ 3 = 1000 - 3 * x * (10 - x)

Сумма будет наименьшей, при условии, если x * (10 - x) имеет наибольшее значение, а наибольшее оно при x = 5

Ответ: x = 5, y = 5.