Найдите экстремумы функции : f (x) = x^2 - 4x

Для нахождения экстремумов функции найдем ее производную и приравняем ее нулю:

f (x) = x² - 4 * x;

f ' (x) = (x² - 4 * x) ' = 2 * х - 4;

2 * х - 4 = 0;

2 * х = 4;

х = 4/2 = 2.

Подставим полученное значение х и найдем соответствующее ей значение функции:

f (x) = x² - 4 * x = 2² - 4 * 2 = 4 - 8 = - 4;

Теперь проверим как меняется знак производной в этой точке, для этого возьмем значения х меньше и больше 2-х. При смене знака производной изменяет с минуса на плюс будем иметь дело с минимумом, с плюса на минус - с максимумом:

f ' (0) = 2 * х - 4 = 2 * 0 - 4 = - 4;

f ' (3) = 2 * х - 4 = 2 * 3 - 4 = 2.

Знак производной меняется с минуса на плюс, значит имеем дело с минимумом, который находится в точке (2; - 4).

Всего этого можно было и не считать, достаточно было проанализировать данную функцию. Функция квадратичная, значит график ее - парабола, ветви которой направлены вверх, так как первый коэффициент (при х²) больше нуля. Если ветви параболы идут вверх, то ее единственный экстремум, одновременно являющийся минимумом - это вершина параболы, которую можно найти по формуле:

x = - b / (2 * a) = 4 / (2 * 1) = 2;

f (x) = x² - 4 * x = 2² - 4 * 2 = 4 - 8 = - 4;

Получили ту же точку (2; - 4).