Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 12. Найдите высоту этого треугольника.

Обозначим через x длину стороны данного равностороннего треугольника.

В исходных данных к данному заданию сообщается, что радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен 12.

Выразим площадь S данного треугольника через радиус вписанной окружности:

S = 12 * (x + x + x) / 2 = 12 * 3x / 2 = 6 * 3x = 18x.

Выразим площадь S данного треугольника через две стороны о угол между ними:

S = (1/2) * x * x * sin (60°) = (1/2) * x^2 * √3/2 = x^2√3/4.

Составляем и решаем уравнение:

x^2√3/4 = 18 х;

x^2 / х = 18 * 4 / √3;

х = 72/√3.

Используя формулу площади треугольника через высоту и основание, находим высоту данного треугольника:

h = 2 * S / x = 2 * 18x / x = 2 * 18 = 36.

Ответ: 36.