Площадь остроугольного треугольника ABC равна S. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон AB, AC и BC в точках M, N и K соответственно. Точка O - центр вписанной в треугольник ABC окружности. Отрезки BO и MK пересекаются в точке E, а отрезки CO и NK пересекаются в точке F. Точка Q - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на отрезок EF. Найдите площадь треугольника EOF, если высота треугольника ABC, проведенная из вершины A, в 3 раза больше радиуса вписанной в треугольник ABC окружности и в 12 раз больше OQ.

0
Ответы (1)
  1. 17 июня, 04:45
    0
    Сведения для решения задачи Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения биссектрис; радиус окружности перпендикулярен касательной к этой окружности; площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию; две касательные, проведенные из одной точки к одной окружности, равны; около четырехугольника можно описать окружность, если сумма его противолежащих углов будет равна 180 градусов; вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, равны; если два угла треугольника равны двум углам второго треугольника, то эти треугольники подобны.

    Перед решением задачи необходимо сделать чертеж, указать известные данные.

    Рассмотрим треугольники АВС и ОВС

    1) Треугольники АВС и ОВС имеют общую сторону ВС. Высота, проведенная из вершины А к стороне ВС в 3 раза больше высоты ОК (ОК является радиусом вписанной окружности). Значит площадь треугольника ВОС в три раза меньше площади треугольника АВС:

    SОВС = 1/3 * SАВС = 1/3 * S.

    Рассмотрим четырехугольник КЕОF

    2) ВЕ - это биссектриса, медиана и высота треугольника МВК (треугольник МВК равнобедренный, так как ВМ - ВК как две касательные из одной точки). Значит, угол ОЕК равен 90°.

    СF - биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника CNK. Значит, угол OFK равен 90°.

    Значит, около четырехугольника КЕОF можно описать окружность (угол ОЕК + OFK = 180°).

    3) Обозначим угол OBK = OBA = х, тогда угол OKE = 90° - KOE = х. Угол OFE = OKE = х, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу окружности, описанной около четырехугольника KEOF.

    Следовательно, треугольник FEO подобен треугольнику ВСО.

    Вычислим коэффициент подобия треугольников:

    OQ и OK - это соответствующие высоты треугольников FEO и ВСО. OQ/OK = 1/4. Значит, коэффициент подобия равен 1/4.

    Площади подобных треугольников относятся друг к другу с коэффициентом в квадрате.

    SEOF = (1/4) ^2 * SBOC = 1/16 * 1/3 * S = 1/48 * S = S/48.

    Ответ: площадь треугольника EOF = S/48.
Знаешь ответ на этот вопрос?
Новые вопросы по математике
найдите объём прямоугольного паралелепипеда если его если его длинна равна 80 м, ширина составляет 30% от длинны, а высота 25% от ширины
Ответы (1)
Сколько времени был в пути товарный поезд если он прошел 7200 км со скоростью 90 км/ч
Ответы (1)
За 4 одинаковых по цене чашки заплатили 360 руб Ваза в 8 раз дороже чашки Какова цена вазы
Ответы (1)
Длина прямоугольника 9 метров чему равна его ширина если периметр этого прямоугольника равен 26 метров
Ответы (1)
Уравнение у-7/12 * у=4 целые и 1/6
Ответы (1)
Решить пропорцию 7*x/12=3/4
Ответы (2)
1) сейчас ноябрь, какой месяц будет через 100 месяцев?
Ответы (1)
Точка С делит отрезок АВ в отношении 3:7. Найдите длину отрезка АВ, если отрезок ВС больше отрезка АС на 12 см
Ответы (1)
В школьный буфет привезли два ящика яблоко, 8 кг каждом, 10 кг груш. Узнай сначала, сколько привезли килограммов яблоко, а потом, на сколько килограмов больше привезли яблоко, чем груш.
Ответы (1)
Бригада трактористов вспахала поле площадью 672 га. Если бы бригада вспахивала ежедневно на 8 га больше, то закончила бы работу на 2 дня раньше. Сколько га вспахивала бригада ежедневно?
Ответы (1)