Человек должен выплатить штраф в размере 1000$, монетами 7 и 13. Каким наименьшим количеством монет он может обойтись?

Минимальное число монет получится, если платить монетами большей стоимости.

Пусть X монет номиналом 13 и Y монет номиналом 7. Тогда

13 * X + 7 * Y = 1000, причем X и Y - натуральные числа, и X должно быть как можно большим.

Найдем частное решение.

Пусть X0 = 8 (подбором от 1; 2; 3; ...), тогда Y0 = (1000 - 13 * 8) / 7 = 128.

Тогда имеем:

13 * (X - X0) + 7 * (Y - Y0) = 1000 - 1000 = 0.

Значит, Y - Y0 делится на 13, а X - X0 делится на 7.

Пусть X - X0 = 7k, где k - целое.

Тогда Y - Y0 = - 13k.

Отсюда решение уравнения в общем виде:

X = 7k + 8,

Y = 128 - 13k.

Теперь найдем наибольшее k, при котором Y > 0.

128/13 = 9 + 11/13. То есть k = 9.

Тогда X = 7 * 9 + 8 = 63 + 8 = 71.

Y = 128 - 13 * 9 = 11.

То есть 1000 выплачивается как 11 * 7 + 71 * 13 = 1000, а наименьшее число монет равно 71 + 11 = 82 монеты.

Ответ: 82 монеты.