Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=-x^2-4x и y=x

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями, через двойной интеграл.

Алгоритм вычисления площади Выполнить чертеж обоих функций на координатной прямой, закрасить получившуюся фигуру; Найти точки пересечения графиков; Выбрать порядок обхода области получившейся фигуры; Выполнить вычисления по формуле нахождения площади: S = _D~~dxdy (~~ это двойной интеграл). Найдем точки пересечения графиков

Даны две функции y = - x² - 4x и y = x

Приравниваем значение у.

- x² - 4x = х

- x² - 4x - х = 0

- x² - 5x = 0

-х (х + 5) = 0

х = 0 х = - 5

Выбираем порядок обхода области

-5 < = x < = 0

x < = y < = - x² - 4x

Выполняем вычисление по формуле S = _D~~dxdy (двойной интеграл записывается как две вертикальные изогнутые линии, буква D внизу).

S = _D~~dxdy = _-5 ~ ⁰ dx _(x) ~ ^{( - x2 - 4x)} dy = _-5 ~ ⁰ dx y _x| ^{- x2 - 4x} = _-5 ~ ⁰ (( - x² - 4x) - x) dx =

= _-5 ~ ⁰ ( - x² - 5x) dx = - (x³) / 3 _-5|⁰ (-5x²/2) _-5|⁰ = - 125/3 + 125/2 = ( - 250 + 375) / 6 = 125/6 = 20 5/6

Ответ: Площадь ограниченная линиями y = - x² - 4x и y = x равна 20 5/6.

Найдем точки пересечения графиков функций, для этого приравняем их функции:

-x^2 - 4x = x

-x^2 - 3x = 0

x * (x + 3) = 0

x1 = 0; x2 = - 3.

Тогда площадь S ограниченная параболой прямой будет равна разности интегралов:

S = ∫ (-x^2 - 4x) * dx|-3; 0 - ∫x * xd |-3; 0 = (-1/3 * x ^3 - 2 * x^2) |-3; 0 - 1/2 * x ^2| - 3; 0 = - 1/3 * (-27) + 2 * 9 - 1/2 * (9) = 27 - 4,5 = 22,5