При каких значениях m верно при любом x неравенство X^2 + (2m-3) x+m^2-m+4>0

х² + (2m - 3) x + m² - m + 4 > 0.

Рассмотрим функцию у = х² + (2m - 3) x + m² - m + 4, это квадратичная парабола, ветки вверх.

Неравенство имеет знак > 0. Неравенство будет верно при любом х, если вся парабола будет находиться над осью х, то есть не иметь точек касания с осью х.

Значит, дискриминант функции должен быть меньше нуля.

Выразим дискриминант функции у = х² + (2m - 3) x + m² - m + 4.

a = 1; b = (2m - 3); c = (m² - m + 4).

D = b² - 4ac = (2m - 3) ² - 4 (m² - m + 4) = 4m² - 12m + 9 - 4m² + 4m - 16 = - 8m - 7.

Составляем неравенство D < 0.

-8m - 7 < 0;

-8m < 7;

8m > - 7;

m > - 7/8.

Ответ: неравенство будет верным при любых х, если m будет больше - 7/8.