Доказать, что при любом значении n выражение (6n+2) в квадрате - (3n+7) в квадрате делится на 9

Для того, чтобы доказать, что при любом значении n выражение (6n + 2) ^2 - (3n + 7) ^2 делится на 9 мы начнем с того, что выполним открытия скобок в нем.

Применим мы к данному выражению формулу сокращенного умножения разность квадратов:

n^2 - m^2 = (n - m) (n + m).

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности и суммы этих выражений:

n = 6n + 2;

m = 3n + 7.

Получаем выражение:

(6n + 2) ^2 - (3n + 7) ^2 = (6n + 2 - 3n - 7) (6n + 2 + 3n + 7) = (3n - 5) (9n + 9) = 9 (n + 1) (3n - 5).

Полученное выражение делиться на 9, что и требовалось доказать.