Найти наибольшее целое решение неравенства х (х+9) ^2<=3x^2

Рассмотрим неравенство: х * (х + 9) ² ≤ 3 * x². Перепишем данное неравенство в виде х * (х + 9) ² - 3 * x² ≤ 0 и вынесем за скобки множитель х. Тогда, получим: х * ((х + 9) ² - 3 * x) ≤ 0. Используя формулу сокращенного умножения (a - b) * (a + b) = a² - b² (разность квадратов), раскроем внутренние скобки в левой части последнего неравенства: х * (х² + 2 * х * 9 + 9² - 3 * x) ≤ 0 или х * (х² + 15 * х + 81) ≤ 0. С целью разложения квадратного трёхчлена х² + 15 * х + 81 на линейные множители (по возможности), вычислим его дискриминант D = 15² - 4·1·81 = 225 - 324 = - 99. Так как дискриминант меньше нуля, то уравнение х² + 15 * х + 81 = 0 не имеет действительных корней, а рассматриваемый трёхчлен не разлагается на линейные множители. Поскольку коэффициент при х² равен 1 > 0, то х² + 15 * х + 81 > 0 для любого х ∈ (-∞; + ∞). Следовательно, из последнего неравенства п. 3 получим х ≤ 0. Это означает, что наибольшее целое решение данного неравенства равно 0.

Ответ: 0.