1) Решить иррациональное уравнение: Под корнем: x'2+2x+10 (без корня) + 1=2x 2) Найти сумму бесконечной убывающей геометрической прогрессии: корень из 2; 2:3; 2 корень из 2:9; 4:27; ...

Возведем в квадрат левую и правую части уравнения:

√ (x² + 2x + 10) + 1 = 2x;

√ (x² + 2x + 10) = 2x - 1;

Найдем ОДЗ:

{ 2x - 1 ≥ 0;

{2x ≥ 1;

x ≥ 1/2;

Значит, х ∈ [1/2; + ∞);

[√ (x² + 2x + 10) ]² = (2x - 1) ²;

x² + 2x + 10 = 4 х² - 4 х + 1;

x² + 2x + 10 - 4 х² + 4 х - 1 = 0;

- 3x² + 6x + 9 = 0;

Разделим уравнение на ( - 3);

3x² - 6x - 9 = 0;

x² - 2x - 3 = 0;

Решим квадратное уравнение:

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = 2² - 4 * 1 * ( - 3) = 4 + 12 = 16;

D › 0, значит:

х1 = ( - b - √D) / 2a = (2 - √16) / 2 * 1 = (2 - 4) / 2 = - 2 / 2 = - 1, не подходит по ОДЗ;

х2 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √16) / 2 * 1 = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3;

Ответ: х = 3.

1. Найдем знаменатель убывающей геометрической прогрессии:

√2; 2/3; 2√2/9; 4/27; ...;

q = 2√2/9 / 2/3 = 2√2/9 * 3/2 = √2/3;

Вычислим сумму убывающей геометрической прогрессии:

b1 = √2;

q = √2/3;

S = b1 / (1 - q);

S = √2 / (1 - √2/3) = √2 / ((3 - √2) / 3) = 3√2 / (3 - √2).

Ответ: 3√2 / (3 - √2).