Найдите все пары (х; у) целых чисел х и у являющиеся решениями системы уравнений х=7 у-34/у-5 х^2 + у^2 = 52

1. Сначала рассмотрим целые решения второго уравнения системы:

{х = (7 у - 34) / (у - 5);

{х^2 + у^2 = 52;

х^2 + у^2 = 52; у^2 = 52 - x^2;

a) при |x| ≥ 8;

y^2 = 52 - x^2 ≤ 52 - 8^2 = 52 - 64 = - 8, нет решений;

b) при |x| = 7;

y^2 = 52 - 7^2 = 52 - 49 = 3, нет целых решений;

с) при |x| = 6;

y^2 = 52 - 6^2 = 52 - 36 = 16; y = ±4;

d) при |x| = 5;

y^2 = 52 - 5^2 = 52 - 25 = 27, нет целых решений;

e) при |x| = 4;

y^2 = 52 - 4^2 = 52 - 16 = 36; y = ±6;

d) при |x| ≤ 4, нет целых решений;

Целые решения:

(±6; ±4), (±4; ±6).

2. Проверим эти решения для второго уравнения:

х = (7 у - 34) / (у - 5);

a) y = - 4;

х = (7 * (-4) - 34) / (-4 - 5) = (-28 - 34) / (-9) = 62/9, не целое число;

b) y = 4;

х = (7 * 4 - 34) / (4 - 5) = (28 - 34) / (-1) = - 6 / (-1) = 6, подходит;

c) y = - 6;

х = (7 * (-6) - 34) / (-6 - 5) = (-42 - 34) / (-11) = 76/11, не целое число;

d) y = 6;

х = (7 * 6 - 34) / (6 - 5) = (42 - 34) / 1 = 8/1 = 8, не подходит.

Ответ: (6; 4).