Найти производные функций1) y = (1+1/∛x) ³2) y=cosx / (1+2sinx) 3) f (x) = ∛x²; найти f' (-8) 4) f (x) = x / (2x-1); найти f' (0), f' (2), f' (-2)

Задание состоит из четырёх частей. Каждую часть рассмотрим по отдельности.

Рассмотрим функцию y = (1 + 1 / ∛ (x)) ³. По требованию задания, найдём производную данной функции: yꞋ = ((1 + 1 / ∛ (x)) ³) Ꞌ = 3 * (1 + 1 / ∛ (x)) ^{3 - 1} * (1 + 1 / ∛ (x)) Ꞌ = 3 * (1 + 1 / ∛ (x)) ² * (1Ꞌ + (x^⅓) Ꞌ) = 3 * (1 + 1 / ∛ (x)) ² * (⅓ * x^{⅓ - 1}) = 3 * ⅓ * (∛ (x) + 1) ² / ((∛ (x)) ² * (∛ (x)) ²) = (∛ (x) + 1) ² / x². Ответ: (∛ (x) + 1) ² / x². Рассмотрим функцию y = cosx / (1 + 2 * sinx). По требованию задания, найдём производную данной функции: yꞋ = (cosx / (1 + 2 * sinx)) Ꞌ = ((cosx) Ꞌ * (1 + 2 * sinx) - cosx * (1 + 2 * sinx) Ꞌ) / (1 + 2 * sinx) ² = (-sinx * (1 + 2 * sinx) - cosx * 2 * cosx) / (1 + 2 * sinx) ² = (-sinx - 2 * sin²x - 2 * cos²x) / (1 + 2 * sinx) ² = - (sinx + 2 * (sin²x + cos²x)) / (1 + 2 * sinx) ² = - (sinx + 2) / (1 + 2 * sinx) ². Ответ: - (sinx + 2) / (1 + 2 * sinx) ². Рассмотрим функцию f (x) = ∛ (x²). По требованию задания, найдём значение производной данной функции в точке х = - 8. С этой целью, сначала найдём производную данной функции: f Ꞌ (x) = (∛ (x²)) Ꞌ = (х^⅔) Ꞌ = ⅔ * х^{⅔ - 1} = ⅔ * х^-⅓ = 2 / ∛ (х). Следовательно, f Ꞌ (-8) = 2 / ∛ (-8) = 2 / (-2) = - 1. Ответ: - 1. Рассмотрим функцию f (x) = x / (2 * x - 1). По требованию задания, найдём значения производной данной функции в точках х = 0, х = 2 и х = - 2. С этой целью, сначала найдём производную данной функции: f Ꞌ (x) = (x / (2 * x - 1)) Ꞌ = (хꞋ * (2 * x - 1) - х * (2 * x - 1) Ꞌ) / (2 * x - 1) ² = (2 * х - 1 - 2 * х) / (2 * x - 1) ² = - 1 / (2 * x - 1) ². Следовательно, f Ꞌ (0) = - 1 / (2 * 0 - 1) ² = - 1, f Ꞌ (2) = - 1 / (2 * 2 - 1) ² = - 1/9, f Ꞌ (-2) = - 1 / (2 * (-2) - 1) ² = - 1/25. Ответы: - 1; - 1/9; - 1/25.