Пусть N-наименьшое натуральное число, остатки от деления которого на 2,3,4,5 и6 различны. Каеой остаток оно даеь при делении на 5?

Рассмотри 6 возможных случаев.

1) Число N при делении на 6 дает в остатке 0.

Тогда это число и при делении на 2 будет давать в остатке 0, следовательно, данный случай не подходит.

2) Число N при делении на 6 дает в остатке 1.

Тогда это число и при делении на 2 будет давать в остатке 1, следовательно, данный случай не подходит.

3) Число N при делении на 6 дает в остатке 2.

Тогда это число и при делении на 3 будет давать в остатке 2, следовательно, данный случай не подходит.

4) Число N при делении на 6 дает в остатке 3.

Тогда это число можно можно представить в виде 6k + 3, где k - некоторое целое число.

Следовательно, это число при делении на 2 будет давать в остатке 1, а при делении на 3 будет давать в остатке 0.

Если число k будет четным, то число 6k + 3 при делении на 4 будет давать в остатке 3, следовательно, данный случай не подходит.

Если число k будет нечетным, то число 6k + 3 при делении на 4 будет давать в остатке 1, следовательно, данный случай также не подходит.

5) Число N при делении на 6 дает в остатке 4.

Тогда это число можно можно представить в виде 6k + 4, где k - некоторое целое число.

Следовательно, это число при делении на 2 будет давать в остатке 0, а при делении на 3 будет давать в остатке 1.

Если число k будет четным, то число 6k + 4 при делении на 4 будет давать в остатке 0, следовательно, данный случай не подходит.

Если число k будет нечетным, то число 6k + 4 при делении на 4 будет давать в остатке 2.

Найдем наименьшее нечетное значение K при котором число 6k + 4 при делении на 5 будет давать в остатке 3.

Такое значение k = 9 и при этом значении k получаем N = 6 * 9 + 4 = 58.

6) Число N при делении на 6 дает в остатке 5.

Тогда это число можно можно представить в виде 6k + 5, где k - некоторое целое число.

Следовательно, это число при делении на 2 будет давать в остатке 1, а при делении на 3 будет давать в остатке 2.

Если число k будет четным, то число 6k + 5 при делении на 4 будет давать в остатке 1, следовательно, данный случай не подходит.

Если число k будет нечетным, то число 6k + 5 при делении на 4 будет давать в остатке 3.

Найдем наименьшее нечетное значение K при котором число 6k + 5 при делении на 5 будет давать в остатке 0.

Такое значение k = 5 и при этом значении k получаем N = 6 * 5 + 5 = 35.

Следовательно, искомое число это 35.

Ответ: 35.