1. Чему равен остаток от деления числа 7+69+671+6673+66675 на 6? 2. Какой цифрой кончается сумма: 15 х25 х37 х43 + 34 х48 х77? 3. При деление чисел n и m на 7 получается соответственно остатки 5 и 6. Какой остаток получится при деление на 7 числа mn? 4. Найдите остаток от деления 3 в 20 степени на 7. 5. Укажите последнюю цифру разности 17 х28 х41 х35 - 24 х12 х87. 6. Какой цифрой кончается сумма 16 х2738 х19 + 22 х43 х98? 7. Разность двух чисел равна 24. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 4 и в остатке 3. Найдите сумму этих чисел. 8. Все натуральные числа от 1 до 35 написаны последовательно. Получилось число 123 ... 3435. Какой получится остаток при делении этого чилса на 25? 9. Сумма двух чисел равна 64. Найдите большее из этих чисел, если при делении его на меньшее число в частном получится 3, а в остатке 4. 10. Найдите сумму остатков, получающихся при делении числа 36455478354 на 2, 4, 5, 9, 10, 25.

Пусть x mod y - операция взятия остатка от деления х на у. Например - 17 mod 6 = 5.

1. Чтобы посчитать остаток от суммы, достаточно сложить отдельные остатки, и снова найти остаток:

(7 + 69 + 671 + 6673 + 66675) mod 6 =

= ((7 mod 6) + (69 mod 6) + (671 mod 6) + (6673 mod 6) + (66675 mod 6)) mod 6 =

(1 + 3 + 5 + 1 + 3) mod 6 = 13 mod 6 = 1

Ответ: Остаток от деления на 6 равен 1.

2. Для нахождения последней цифры произведения можно перемножать и складывать только последние цифры:

((15 * 25 * 37 * 43) + (34 * 48 * 77)) mod 10 = ((5 * 5 * 7 * 3) + (4 * 8 * 7)) mod 10 =

= (5 + 4) mod 10 = 9

Ответ: Последняя цифра суммы - 9.

3. Остаток от произведения равен произведению остатков, следовательно:

(m * n) mod 7 = ((m mod 7) * (n mod 7)) mod 7 = (5 * 6) mod 7 = 30 mod 7 = 2

Ответ: Остаток при делении на 7 равен 2.

4. Рассмотрим остатки от деления на 7 у первых степеней тройки:

3¹ mod 7 = 3

3² mod 7 = 2

3³ mod 7 = 6

3⁴ mod 7 = 4

3⁵ mod 7 = 5

3⁶ mod 7 = 1

3⁷ mod 7 = 3

Как мы можем заметить, каждые 6 степеней остаток от деления на 7 повторяется. Тогда, найдем остаток от деления степени тройки на длину цикла:

20 mod 6 = 2

Значит, 3²⁰ = 3² = 2

Ответ: Остаток от деления 3²⁰ на 7 равно 2.

5. ((7 * 8 * 1 * 5) - (4 * 2 * 7)) mod 10 = (0 - 6) mod 10.

Так как первое число больше второго, то можем 0 заменить на (0 + 10), тогда

(10 - 6) mod 10 = 4

Ответ: Последняя цифра разности - 4.

6. ((6 * 8 * 9) + (2 * 3 * 8)) mod 10 = (2 + 8) mod 10 = 0

Ответ: Сумма заканчивается на 0.

7. Пусть первое число - х, второе число - y.

Составим систему уравнений:

x - y = 24

x = 4y + 3

Подставим x из второго равенства в первое:

4y + 3 - y = 24

3y = 21

y = 7

x = 4 * 7 + 3 = 31

x + y = 31 + 7 = 38

Ответ: Сумма чисел равна 38.

8. Для нахождения остатка при делении на 25 будет достаточно рассмотреть последние 2 цифры числа, так как 25 * 4 = 100, а значит любое количество сотен делится на 25 без остатка.

35 mod 25 = 10

Ответ: Остаток при делении на 25 равен 10.

9. Обозначим первое число за х, второе - за у. Тогда:

x + y = 64

x = 3y + 4

Подставим х из второго в первое уравнение:

3y + 4 + y = 64

4y = 60

y = 15

x = 3 * 15 + 4 = 49

Ответ: Большее число равно 49.

10. Для нахождения остатков при делении на 2, 5 и 10 достаточно проверить только последнюю цифру числа:

4 mod 2 = 0

4 mod 5 = 4

4 mod 10 = 4

Для 4 и 25 возьмём последние две цифры:

54 mod 4 = 2

54 mod 25 = 4

Для нахождения остатка при делении на 9, надо найти сумму всех цифр в числе, и найти остаток уже от этой суммы:

(3 + 6 + 4 + 5 + 5 + 4 + 7 + 8 + 3 + 5 + 4) mod 9 = 54 mod 9 = 0

Осталось только сложить все ответы:

0 + 4 + 4 + 2 + 4 + 0 = 14

Ответ: Сумма остатков равна 14.