Для подготовки к экзамену Аристарху Луков-Арбалетову надо выучить 100 билетов. Он решил готовиться постепенно, ежедневно увеличивая количество выученных за день билетов на одно и то же число. Известно, что за первый день Аристарх выучил 1 билет. Определите, сколько билетов он выучил за последний день, если подготовка заняла 10 дней

Для решения этой задачи нам надо рассмотреть арифметическую прогрессию, в соответствии с которой Аристарх готовился к экзамену. Первым членом арифметической прогрессии будет число билетов, выученных в первый день. Десятым членом арифметической прогрессии будет число билетов, выученных в последний, десятый день. Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии будет равна 100. Каждый день Аристарх увеличивал количество выученных билетов на одно и то же число - это разность арифметической прогрессии.

Построение арифметической прогрессии

Введем следующие обозначения:

а1 = 1 - первый член арифметической прогрессии; n = 10 - число членов арифметической прогрессии; аn - n-й член арифметической прогрессии;

Sn = a1 + a2 + ... + an;

S10 = a1 + a2 + ... + a10 = 100;

Билеты, выученные в последний день

Формула для суммы n первых членов арифметической прогрессии будет:

Sn = ((a1 + an) / 2) · n;

Отсюда:

an = 2Sn / n - a1;

a10 = 2 · 100 / 10 - 1 = 19;

Ответ: 19 билетов выучил Аристарх за последний день.

Допустим что Аристарх каждый день увеличивал количество выученных билетов на х штук.

Тогда получим следующее:

В первый день он выучил 1 билет;

Во второй день 1 + х билетов;

Третий 1 + 2 * х;

Четвертый 1 + 3 * х;

Пятый 1 + 4 * х;

Шестой 1 + 5 * х;

Седьмой 1 + 6 * х;

Восьмой 1 + 7 * х;

Девятый 1 + 8 * х;

Десятый 1 + 9 * х.

Составим уравнение с учетом того, что всего ему необходимо было выучить 100 билетов:

1 + 1 + х + 1 + 2 * х + 1 + 3 * х + 1 + 4 * х + 1 + 5 * х + 1 + 6 * х + 1 + 7 * х + 1 + 8 * х + 1 + 9 * х = 45 * х + 10 = 100;

Решим уравнение:

45 * х = 90;

х = 2 - Аристарх Луков-Арбалетов каждый день увеличивал число выученных билетов на 2.

Найдем сколько билетов Аристарх Луков-Арбалетов выучил в последний день:

1 + 9 * 2 = 19 билетов.