2sinxcosx+5cos^2x=4 srochno

Перенесем все значения в левую часть:

2sinxcosx + 5cos²x = 4;

2sinxcosx + 5cos²x - 4 = 0;

Применим формулу основного тождества тригонометрической функций:

1 = sin²x + cos²x;

2sinxcosx + 5cos²x - 4 (sin²x + cos²x) = 0;

2sinxcosx + 5cos²x - 4sin²x - 4cos²x = 0;

- 4sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 0;

4sin²x - 2sinxcosx - cos²x = 0;

Разделим равенство на cos²x ≠ 0;

4sin²x/cos²x - 2sinxcosx/cos²x - cos²x/cos²x = 0;

4tg²x - 2tgx - 1 = 0;

Выполним замену tgx = у:

4y² - 2y - 1 = 0;

Вычислим дискриминант:

D = b² - 4ac = ( - 2) ² - 4 * 4 * ( - 1) = 4 + 16 = 20;

D › 0, значит:

у1 = ( - b - √D) / 2a = (2 - √20) / 2 * 4 = (2 - 2√5) / 8 = (1 - √5) / 4;

у2 = ( - b + √D) / 2a = (2 + √20) / 2 * 4 = (2 + 2√5) / 8 = (1 + √5) / 4;

Тогда, если у1 = (1 - √5) / 4, то:

tgx = (1 - √5) / 4;

х = arctg ((1 - √5) / 4) + πn, n ∈ Z;

х1 = - arctg ((√5 - 1) / 4) + πn, n ∈ Z;

если у2 = (1 + √5) / 4, то:

tgx = (1 + √5) / 4;

х2 = arctg ((1 + √5) / 4) + πn, n ∈ Z;

Ответ: х1 = - arctg ((√5 - 1) / 4) + πn, n ∈ Z, х2 = arctg ((1 + √5) / 4) + πn, n ∈ Z,.