Найти среднее арифмитическое корней уравнения 2 + (корень из 3) cos (270+x) = 2cos²x принадлежащие отрезку [-п/3; 7 п/3]

Рассмотрим тригонометрическое уравнение 2 + √ (3) * cos (270° + x) = 2 * cos²x. Используя формулу приведения cos (270° + α) = sinα и sin²α + cos²α = 1 (основное тригонометрическое тождество), имеем: 2 + √ (3) * sinх = 2 * (1 - sin²х) или 2 * sin²х + √ (3) * sinх = 0. Последнее уравнение равносильно уравнению sinх * (2 * sinх + √ (3)) = 0. Для того, чтобы произведение двух сомножителей равнялось нулю, необходимым и достаточным условием является равенство нулю хотя бы одного из сомножителей. Следовательно, получаем два (простейших) тригонометрических уравнения: sinх = 0 и 2 * sinх + √ (3) = 0. Первое из полученных уравнений имеет решение х = π * m, где m ∈ Z, Z - множество целых чисел. Очевидно, что из этой серии решений данного уравнения, всего три решения х = 0 (при n = m), х = π (при m = 1) и х = 2 * π (при m = 2) принадлежат отрезку [-π/3; 7 * π/3]. Рассмотрим второе уравнение, которого перепишем в виде sinх = - √ (3) / 2. Это простейшее тригонометрическое уравнение имеет следующие две серии решений: х = - π/3 + 2 * π * n и х = 4 * π/3 + 2 * π * k, где n, k ∈ Z. Определим из этих двух серий решений данного уравнения те, которые принадлежат отрезку [-π/3; 7 * π/3]. С этой целью рассмотрим каждую серию по отдельности. А) Пусть х = - π/3 + 2 * π * n. Тогда, составим двойное неравенство - π/3 ≤ х ≤ 7 * π/3, то есть, - π/3 ≤ - π/3 + 2 * π * n ≤ 7 * π/3. Ко всем частям этого двойного неравенства, прибавим π/3. Тогда поучим: 0 ≤ 2 * π * n ≤ 8 * π/3. Теперь поделим все части этого неравенства на 2 * π. Имеем: 0 ≤ n ≤ 4/3. Ясно, что это двойное неравенство справедливо для двух целых значений: n = 0 и n = 1, к которым соответствуют следующие решения данной задачи: х = - π/3 и х = - π/3 + 2 * π = 5 * π/3. Б) Пусть, теперь, х = 4 * π/3 + 2 * π * k. Тогда, составим двойное неравенство - π/3 ≤ х ≤ 7 * π/3, то есть, - π/3 ≤ 4 * π/3 + 2 * π * k ≤ 7 * π/3. Cо всех частей этого двойного неравенства, отнимем 4 * π/3. Тогда поучим: - 5 * π/3 ≤ 2 * π * k ≤ π. Теперь поделим все части этого неравенства на 2 * π. Имеем: - 5/6 ≤ k ≤ 1/2. Ясно, что это двойному неравенству лишь одно целое значение k = 0, к которому соответствует следующее решение данной задачи: х = 4 * π/3. Вычислим среднее арифметическое х_с найденных шести корней уравнения. Оно, то есть, х_с равно (0 + π + 2 * π + (-π/3) + 5 * π/3 + 4 * π/3) : 6 = π * (1 + 2 - 1/3 + 5/3 + 4/3) : 6 = π * (3 * 3 - 1 + 5 + 4) / (6 * 3) = 17 * π/18.

Ответ: 17 * π/18.