Существует ли треугольник, у которого длины всех сторон и всех высот являются целыми числами?

Рассмотрим равносторонний треугольник.

У равностороннего треугольника все стороны равны, и все три высоты тоже.

Высота равностороннего треугольника равна: h = (a * √3) / 2.

При целых значениях сторон, мы не получим целого значения высоты.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, у которого две высоты равны длинам катетов, а высота из вершины равна: h = (a * b) / c, где а и b длина катетов, а с - гипотенузы.

При целых значениях катетов и гипотенузы мы можем получить целое число высоты.

a = 15, b = 20, тогда по теореме Пифагора с = 25.

h = (15 * 20) / 25 = 12.

a = 60, b = 80, тогда по теореме Пифагора с = 100.

h = (60 * 80) / 100 = 40.

Ответ: Существуют.