Из всех треугольников, у которых сумма основания и высоты b+h=a, найдите тот, у которого площадь наибольшая.

Заменим основание b на х, тогда b + h = a = х + h = a. Откуда h = a - x). Найдём площадь С:

С = b * h/2 = x * h/2 = x * (a - x) / 2. (1)

Для определения максимума площади, исследуем функцию площади (1). Д ля того, чтобы функция была максимальна, нужно приравнять её первую производную 0.

С′ = [x * (a - x) / 2]′ = 0; [a * x - x^2]′/2 = 0; дифференцируем функцию по переменной х, получим:

С′ = а - 2 * х = 0, откуда получим, что 2 * х = а, х = а/2. Но а = х + h; x = a/2; h = a/2; x = h = a/2.

То есть максимальная площадь будет при b = h = a/2.