Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, в которой S4=-4 и S7=8

Дано: (a_n) - арифметическая прогрессия;

S₄ = - 4; S₇ = 8;

Найти: а₁ - ?, d - ?

Сумма n первых членов арифметической прогрессии находится по формуле:

S_n = (a₁ + a_n) * n / 2.

Т. е. S₄ = (a₁ + a₄) * 4 / 2 = (a₁ + a₄) * 2 = - 4, а S₇ = (a₁ + a₇) * 7 / 2 = 8.

Найдём четвертый и седьмой члены прогрессии.

Формула n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + d * (n - 1).

Значит, a₄ = a₁ + d * (4 - 1) = a₁ + 3d;

a₇ = a₁ + d * (7 - 1) = a₁ + 6d.

Тогда имеем:

(a₁ + a₁ + 3d) * 2 = - 4;

(2a₁ + 3d) * 2 = - 4;

2a₁ + 3d = - 2.

а так же (a₁ + a₁ + 6d) * 7 / 2 = 8;

(2a₁ + 6d) * 7 / 2 = 8;

2a₁ + 6d = 16/7.

Составим и решим систему уравнений:

2a₁ + 3d = - 2, (1)

2a₁ + 6d = 16/7 (2)

Из (1) уравнения выразим a₁:

2a₁ = - 2 - 3d;

a₁ = (-2 - 3d) / 2.

Подставим полученное выражение во (2) уравнение системы:

2 * ((-2 - 3d) / 2) + 6d = 2;

-2 - 3d + 6d = 2;

d = 14/3.

Полученное значение d подставим в выражение для нахождения первого члена:

a₁ = (-2 - 3 * (-14/3)) / 2 = - 8.

Ответ: a₁ = - 8, d = 14/3.