Взяли 5 натуральных чисел и для каждых двух записали их суммы. Могло ли оказаться, что все 10 получившихся сумм оканчивается разными цифрами?

Пусть наши натуральные числа - a, b, c, d, e.

Составим все возможные 10 пар из этих чисел и их суммы:

a + b, a + c, a + d, a + e, b + c, b + d, b + e, c + d, c + e, d + e.

Предположим, что все 10 получившихся сумм оканчивается разными цифрами.

Так как цифр всего 10, то все эти суммы должны будут оканчиваться на все 10 цифр.

Сложим все возможные суммы пар чисел:

a + b + a + c + a + d + a + e + b + c + b + d + b + e + c + d + c + e + d + e =

= 4 * (a + b + c + d)

Так как все 10 получившихся сумм оканчивается разными цифрами имеем:

a + b + a + c + a + d + a + e + b + c + b + d + b + e + c + d + c + e + d + e =

= 10 * k1 + 0 + 10 * k2 + 1 + 10 * k3 + 2 + 10 * k4 + 3 + 10 * k5 + 4 + 10 * k6 + 5 +

+ 10 * k7 + 6 + 10 * k8 + 7 + 10 * k9 + 8 + 10 * k10 + 9 =

= 10 * N + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 10 * N + (1 + 9) * 9 / 2 =

= 10 * N + 45 = 10 * (N + 4) + 5.

Значит сумма всех пар должна делиться на 4 и заканчиваться на цифру 5.

По критерию делимости на 4 две его последние цифры должны быть нулями или образуют число, которое делится на 4.

Но 15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95 - не делятся на 4.

Получили противоречие.

Ответ: не может.