Даны две различные геометрические прогрессии, первые члены которых равны 1, а сумма знаменателей равна 3. Найдите сумму пятых членов этих прогрессий, если сумма шестых членов равна 573.

Пусть: bn и bn' - геометрические прогрессии; b1 = b1' = 1; q + q' = 3; b6 + b6' = 573; b5 + b5' = ? Найдем пятые и шесты члены прогрессий: b5 = b1 * q^4 = 1 * q^4 = q^4; b6 = b1 * q^5 = 1 * q^5 = q^5; b5' = b1' * q'^4 = 1 * q'^4 = q'^4; b6' = b1' * q'^5 = 1 * q'^5 = q'^5. Решим: {q + q' = 3;

{b6 + b6' = 573; {q' = 3 - q;

{q^5 + (3 - q) ^5 = 573; q^5 + 3^5 - 5 * 3^4 * q + 10 * 3^3 * q^2 - 10 * 3^2 * q^3 + 5 * 3 * q^4 - q^5 = 573; 243 - 405q + 270q^2 - 90q^3 + 15q^4 = 573; - 405q + 270q^2 - 90q^3 + 15q^4 = 330; - 27q + 18q^2 - 6q^3 + q^4 = 22; q^4 - 6q^3 + 18q^2 - 27q - 22 = 0; (q^2 - 3q + 11) (q^2 - 3q - 2) = 0;

1) q^2 - 3q + 11 = 0;

D = 3^2 - 4 * 11 < 0 - нет решения;

2) q^2 - 3q - 2 = 0;

D = 3^2 + 4 * 2 = 17; q = (3 ± √17) / 2;

1) q = (3 - √17) / 2; q' = 3 - q = (3 + √17) / 2;

2) q = (3 + √17) / 2; q' = 3 - q = (3 - √17) / 2;

qq' = - 2.

Найдем q^4 + q'^4: q^5 + q'^5 = (q + q') (q^4 - q^3q' + q^2q'^2 - qq'^3 + q'^4); 573 = 3 (q^4 - qq' (q^2 + 2qq' + q'^2) + 3 (qq') ^2 + q'^4); 191 = q^4 - qq' (q + q') ^2 + 3 (qq') ^2 + q'^4; 191 = q^4 + 2 * 3^2 + 3 * 2^2 + q'^4; 191 = q^4 + 18 + 12 + q'^4; 191 = q^4 + 30 + q'^4; q^4 + q'^4 = 161.

Ответ: 161.