1. Первый и последний члены арифметической прогрессии, имеющей 7 членов, равны 11 и 35 соотвенно. Сколько членов в другой конечной арифметической прогрессии, первый и последний члены которой равны 38 и 13 соотвенно, если четвертые члены этих прогрессий равны? 2. а) найдите сумму первых ста натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток 1. б) найдите сумму всех натуральных чисел, меньших 100, которые не кратны 5.

1. Применим формулу n-го члена арифметической прогрессии a_n = a₁ + (n - 1) d.

Подставим значения a₁, a₇ и найдем d.

35 = 11 + 6d;

6d = 35 - 11 = 24;

d = 4.

a₄ = a₁ + (4 - 1) d = 11 + 3 * 4 = 11 + 12 = 23.

Четвертый член другой прогрессии A₄ = 23.

А₁ = 38, А_n = 13.

По формуле n-го члена прогрессии найдем d другой прогрессии:

A₄ = A₁ + (4 - 1) d;

23 = 38 + 3d;

3d = 23 - 38 = - 15;

d = - 15 : 3 = - 5.

Найдем номер последнего члена прогрессии:

A_n = A₁ + (n - 1) d;

38 - 5 (n - 1) = 13;

- 5 (n - 1) = 13 - 38;

- 5 (n - 1) = - 25;

n - 1 = - 25 : ( - 5);

n = 5 + 1;

n = 6.

Ответ: в другой прогрессии 6 членов.

2. а) Чтобы найти сумму натуральных чисел, которые при делении на 5 дают остаток, найдем сумму всех чисел и отнимем сумму чисел, которые делятся на 5 без остатка.

Найдем сумму чисел от 1 до 100.

а₁ = 1, d = 1, S₁₀₀ = (2 * 1 + 1 * (100 - 1)) * 100 / 2 = (2 + 99) * 50 = 101 * 50 = 5050.

Найдем сумму чисел от 5 до 100, которые делятся на 5 без остатка:

а₁ = 5, d = 5, a_n = 100.

a_n = a₁ + (n - 1) * d;

100 = 5 + 5 * (n - 1);

20 = 1 + n - 1;

n = 20.

S₂₀ = (2 * 5 + 5 * (20 - 1)) * 20 / 2 = (10 + 95) * 10 = 105 * 10 = 1050.

Вычислим сумму членов от 1 до 100, которые делятся на 5 с остатком:

5050 - 1050 = 4000.

Ответ: 4000.

б) Аналогично предыдущей задаче искомая сумма равна разности суммы всех членов от 1 до 99 и суммы чисел от 5 до 95, кратных 5.

Найдем сумму чисел от 1 до 99.

а₁ = 1, d = 1, S₉₉ = (2 * 1 + 1 * (99 - 1)) * 99 / 2 = (2 + 98) * 99 / 2 = 99 * 50 = 4950.

Найдем сумму чисел от 5 до 95, которые делятся на 5 без остатка:

а₁ = 5, d = 5, a_n = 95.

a_n = a₁ + (n - 1) * d;

95 = 5 + 5 * (n - 1);

19 = 1 + n - 1;

n = 19.

S₁₉ = (2 * 5 + 5 * (19 - 1)) * 19 / 2 = 950.

Вычислим сумму членов от 1 до 99, которые делятся на 5 с остатком:

4950 - 950 = 4000.

Ответ: 4000.