С какого момента наступает юридическая ответственность у субъекта права: с момента совершения правонарушения или с момента решения компетентного органа о наказании за содеянное?

Ответственность всегда наступает с момента вынесения решения соответствующим уполномоченным органом. Это связано с тем, факт нарушения может быть не обнаружен, в таком случае невозможно привлечь к ответственности за то, чего не знаешь, также необходимо установление всех обстоятельств, которые могут иметь значение, чтобы вынести правильное решение.

Например убийство это один вид преступления, а убийство по неосторожности уже другой, для каждого из них будут и разные наказания.

Могут быть и обстоятельства освобождающие от ответственности.