Синтаксический разбор предложения-он занимался изучением памятников древнерусской и славянской письменности.

Предложение повествовательное, не восклицательное. Грамматическая основа: он занимался. Простое, двусоставное (имеет и подлежащее, и сказуемое), распространенное, полное.

Он - подлежащее, выраженное личным местоимением;

занимался - сказуемое, выраженное глаголом прош. времени в ед. ч.;

изучением - дополнение, выраженное существительным ср. рода в ед. ч.;

памятников - дополнение, выраженное существительным м. рода в ед. ч.;

древнерусской, славянской - определения, выраженные прилагательными женского рода, в ед. ч.;

и - соединительный союз;

письменности - дополнение, выраженное существительным ж. рода в ед. ч.