Как правильно опускать или отпускать

Верны оба варианта, слова имеют разное значение.

1. Опускать (во что-то, например, в воду; или что-то, например, руки).

Примеры предложений:

Я не хотел опускать руки и сдаваться при первой же неудачной попытке.

Костя взял в руки кулон и принялся опускать его в воду, налитую в стакан, только я не смог понять, зачем же он это делает?

2. Отпускать (куда-то, например, в отпуск, командировку).

Пример предложения:

Мне не хотелось отпускать сына учится в другой город, но именно там был университет, где он мог получить желаемую профессию.