Найдите наречия, которые пишутся через дефис: а) (по) прежнему направлению; б) (по) настоящему отдохнуть; в) идти (по) осеннему лесу; г) (по) прежнему хорошо; д) скучать (по) настоящему делу.

Наречия, которые пишутся через дефис: б) по-настоящему (как?) отдохнуть; г) по-прежнему (как?) хорошо.

В данных словосочетаниях слова - по-настоящему, по-прежнему - наречия, они отвечают на вопрос - "как?", обозначают признак действия и признак признака, не изменяются. Пишутся через дефис, так как образованы от прилагательных "настоящий", "прежний" при помощи приставки "по-" и суффикса "-ему". Это орфограмма № 62.

В словосочетаниях в), д) слова пишутся раздельно, так как в них нет наречий, в них - прилагательные и предлоги: идти по (какому?) осеннему лесу; скучать по (какому?) настоящему делу.