Коень в слове кукуют.

Кукуют - корень "кук", суффикс "у", окончание "ют", основа слова "куку"; глагол, настоящее время, 3 лицо, множественное число, несовершенный вид; начальная форма - куковать (1 спряжение).

Однокоренные слова:

1. Кукушка (существительное).

2. Кукуя (деепричастие, настоящее время).

3. Кукующий (причастие).

4. Кукование (существительное).

Примеры однокоренных слов:

1. Дверь - дверца - дверной (корень "двер").

2. Трава - травушка - травинка - травяной - травка (корень "трав").

3. Голод - голодать - голодный - голодание (корень "голод").