Это сложное предложение или простое: миша принес шахматы и мы стали играть

Миша принес шахматы, и мы стали играть.

Определим количество грамматических основ в предложении:

(Кто?) Миша - подлежащее (имя существительное).

Миша (Что сделал?) принес - сказуемое (глагол).

Принес (Что?) шахматы - дополнение (имя существительное).

(Кто?) мы - подлежащее (местоимение).

Мы (Что сделали?) стали играть - сказуемое (глагол).

В предложении две грамматические основы, следовательно, оно является сложным. Две части не зависят друг от друга - это сложносочиненное предложение. Необходимо поставить запятую между двумя частями.