Два математических маятника с длинами l1 и l2 одновременно начинают колебания в одинаковых фазах с периодами Т1=6 с и Т2=5 с. Через какое минимальное время фазы их колебаний будут снова одинаковыми? Какой будет частота колебаний f маятника с длиной L=l1+l2?

Время t, через которое фазы колебаний маятников будут снова одинаковыми, равно наименьшему общему кратному их периодов. В данном случае наименьшее общее кратное равно произведению периодов:

t = 5 * 6 = 30 c.

Зависимость периодов колебаний от длины маятников:

T₁ = 2 п√ (l₁/g);

T₂ = 2 п√ (l₂/g).

Находим квадраты периодов и значения длин маятников:

T₁² = 4 п² (l₁/g);

T₁² = (4 п²/g) l₁;

l₁ = (T₁² * g) / (4 п²).

Аналогично:

l₂ = (T₂² * g) / (4 п²);

L = l₁ + l₂ = (T₁² * g) / (4 п²) + (T₂² * g) / (4 п²) = (g / (4 п²)) * (T₁² + T₂²);

Период T колебаний маятника с длиной L:

T = 2 п√ (((g / (4 п²)) * (T₁² + T₂²)) / g) =

= √ (T₁² + T₂²) = √ (36 с² + 25 с²) = √61 с ≈ 7,811 с.

Ответ. Фазы будут снова совпадать через 30 с. Период колебаний составного маятника T = √61 с ≈ 7,811 с.