Докажите что средняя скорость автобуса, движущегося из пункта А в пункт В со скоростью v1, а из В в А - со скоростью v2, меньше либо равна (v1 + v2) / 2

Пусть L - расстояние между пунктами А и В. Тогда средняя скорость автобуса за полный рейс от пункта А до пункта В и обратно равна:

vср = Lполное / t полное = 2 * L / (L / v1 + L / v2) = 2 * L / (L * (v1 + v2) / v1 * v2) =

= 2 * L * v1 * v2 / (S * (v1 + v2) = 2 * v1 * v2 / (v1 + v2).

При этом Lполное - расстояние, которое автобус проходит туда и обратно, tполное - время, за которое автобус выехав из пункта А, возвращается в этот же пункт.

Теперь разделим полученное уравнение средней скорости с уравнением для сравнения:

2 * v1 * v2 / (v1 + v2) / (v1 + v2) / 2 = 4 * v1 * v2 / (v1 + v2) ^2 =

= 4 * v1 * v2 / (v1^2 + 2 * v1 * v2 + v2^2) - полученное уравнение всегда будет меньше либо равно единице, а значит, средняя скорость всегда будет меньше или равна значению (v1 + v2) / 2.