К концу тонкого стержня длиной 1 м и массой 5 кг подвешан груз массой 7.5 кг. На каком расстоянии от свободного конца стержня нужно установить опору, чтобы стержень находился в равновесии?

Дано:

m1 = 5 килограмм - масса стержня;

L = 1 метр - длина стрежня;

m2 = 7,5 килограмм - масса груза;

g = 10 Ньютон/килограмм - ускорение свободного падения.

Требуется определить dl (метр) - на каком расстоянии от свободного конца стрежня необходимо установить опору.

Считаем, что вес самого стержня распределен параллельно его длине. Тогда:

mx * dl * g = (m2 + m1 - mx) * (L - dl) * g, где mx - масса стержня до свободного конца до опоры;

mx * dl = (m2 + m1 - mx) * (L - dl);

mx * dl = m2 * L - m2 * dl + m1 * L - m1 * dl - mx * L + mx * dl;

m2 * L - m2 * dl + m1 * L - m1 * dl - mx * L = 0.

С учетом того, что mx = m1 * dl / L, получаем:

m2 * L - m2 * dl + m1 * L - m1 * dl - (m1 * dl / L) * L = 0;

m2 * L - m2 * dl + m1 * L - m1 * dl - m1 * dl = 0;

m2 * L - m2 * dl + m1 * L - 2 * m1 * dl = 0;

m2 * L + m1 * L = 2 * m1 * dl + m2 * dl;

L * (m1 + m2) = dl * (2 * m1 + m2);

dL = L * (m1 + m2) / (2 * m1 + m2) = 1 * (5 + 7,5) / (2 * 5 + 7,5) =

= 12,5 / 17,5 = 0,71 метра (результат был округлен до одной десятой).

Ответ: точку опоры необходимо установить на расстоянии 0,71 метр от свободного конца.