Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а расстояние между центрами Земли и Луны равно 380 тысяч км. На каком расстоянии от центра Луны находится космический аппарат, если действующие на него силы притяжения Луны и Земли компенсируют друг друга?

Дано:

Mз/Mл = 81;

L=380000 км;

Fз = Fл;

lл=?

Сила притяжения планеты на расстоянии от нее определяется выражением:

F=G*M*m/L², где G -, M - масса планеты, m - масса тела, R - расстояние от центра планеты до тела.

Сила притяжения Земли:

Fз=G*Mз*m/Lз².

Сила притяжения Луны:

Fл=G*Mл*m/Lл².

L=Lз+Lл.

Приравняем силы притяжения планет:

Fз = Fл;

G*Mз*m/Lз² = G*Mл*m/Lл², сократим:

Mз/Lз² = Mл/Lл².

Перегруппируем массы и расстояния:

Mз/Mл = Lз²/Lл².

Получается:

Lз²/Lл²=81.

Возьмем корень квадратный от обеих частей:

Lз/Lл=9.

Тогда:

Lз=Lл*9, а из выражения L=Lз+Lл, выразим Lз:

Lз=L-Lл.

Подставим в предыдущее выражение:

L-Lл=Lл*9.

L=Lл*9+Lл=10*Lл.

Отсюда:

Lл=L/10=380000/10=38000 км.

Ответ: на расстоянии 38000 км.

Притяжение аппарата Землей и Луной

Решение начнем с введения обозначений:

R - расстояние между центрами Земли и Луны; r - искомое расстояние от центра Луны; M_з - масса Земли; М_л - масса Луны; m - масса космического апарата.

Находим силу притяжения со стороны Луны:

F_л = GM_лm / r², где G - гравитационная постоянная.

Расстояние от Земли до аппарата равно разности R - r.

Сила притяжения со стороны Земли:

F_з = GM_зm / (R - r) ².

Равенство сил притяжения

Для расстояния r, на котором силы компенсируют друг друга, можно записать равенство для модулей сил притяжения:

F_л = F_з;

GM_лm / r² = GM_зm / (R-r) ²;

M_л / l² = M_з (L - l) ²;

Учитываем, что масса Земли в 81 раз больше массы Луны:

M_л / r² = 81M_л / (R - r) ²;

(R - r) ² M_л = 81M_лr²;

R² - 2Rr + r² = 81r²;

R² - 2Rr - 80r² = 0;

80r² + 2Rr - R² = 0.

Решаем полученное квадратное уравнение относительно r:

r = (-2R + √ (4R² + 4 * 80R²)) / 160 = (-2R + 18R) / 160 = 16R / 160 = R / 10;

r = 380 000 км / 10 = 38 000 км.

Ответ: космический аппарат находится на расстоянии 38 000 км от центра Луны.