Найдите меньшую диагональ ромба, стороны которого равны 49, а острый угол равен 60°.

Пусть ABCD - ромб, АС и BD - диагонали (АС > BD), угол А = угол С = 60 градусов. Диагонали пересекаются в точке О.

Рассмотрим треугольник АОВ: угол ВОА = 90 градусов (так как диагонали ромба пересекаются под углом 90 градусов), АВ - гипотенуза (так как лежит напротив угла равного 90 градусов), угол АВО = угол В/2 (так как диагонали ромба являются биссектрисами углов).

По теореме о сумме улов четырехугольника:

угол А + угол В + угол С + угол D = 360 градусов;

60 + угол В + 60 + угол D = 360 (углы В и D равны, обозначим их как х);

2 х = 360 - 120;

2 х = 240;

х = 240/2;

х = 120.

Угол В = 120 градусов.

Тогда:

угол АВО = 120/2 = 60 градусов.

По теореме о сумме углов треугольника:

угол ОАВ + угол АВО + угол ВОА = 180 градусов;

угол ОАВ + 60 + 90 = 180;

угол ОАВ = 180 - 150;

угол ОАВ = 30 градусов.

ВО лежит напротив угла равного 30 градусов, поэтому:

ВО = АВ/2;

ВО = 49/2 = 24,5.

Диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому меньшая диагональ ВD равна:

ВD = ВО + ОD = 2*ВО = 2*24,5 = 49.

Ответ: ВD = 49.